復變函數復旦大學答案

⑴ 高分跪求復變函數補考完整答案一份

圖1.

填空：

1.z=ln(1-sqrt(3)i)=|1-sqrt(3)|+iarg(1-sqrt(3))=2+i(2kπ-π/3)

2.|z|=2，該多邊形是六邊形，面積為6個邊長為2的正三角形面積之和，為6sqrt(3)

3.由頻域微分定理，L{tf(t)}=-F'(s)，故L{t^3f(t)}=-F'''(s)；又由頻域平移定理，L{e^{5t}t^3f(t)}=-F'''(s-5)

4.記f(z)=z^{-2}，f^(n)(z)=(-1)^n(n+1)!z^{-2+n}. f(z)=∑[0,∞]f^(n)(-1)(z+1)^n=∑[0,∞](n+1)!(z+1)^n

5.由於cosz的泰勒展開式只有偶次項，在n為偶數時不會出現-1次項，故留數（-1次項系數）為0.

選擇：

1. 選D：由於(z-1)sin(1/(z-1))=1-(z-1)^{-2}/3!+(z-1)^{-4}/5!-(z-1)^{-6}/7!+...，其展開式含有無窮多項負冪項，所以是本性奇點。

2.選C：f(z)解析的充要條件是u,v連續可微（調和），且u,v滿足柯西黎曼方程（共軛）。

A.僅說調和，沒說共軛。

B.僅說共軛，沒說調和。

3.選B：對基礎結論F{δ(t)}=1用時域平移定理F{δ(t-t0)}=e^{-iwt0}；對基礎結論f{1}=2πδ(w)，用頻域平移定理F{e^{iw0t}}=2πδ(w-w0).

4.選A：L{δ(t)}=1；對L{u(t)}=1/s先用時域平移定理L{u(t-1)}=e^{-s}/s，再用頻域平移定理L{e^{-t}u(t-1)}=e^{-(s+1)}/(s+1).

5.選D：z=1/sqrt(2)時，|(1+sqrt(3))^n z^2n|->1

計算：

1. 在|z|>2上展開被積分函數：(z-2)^{-2}z^{-3}=z^{-5}(1-2z^{-1})^{-2}=z^{-5}+4z^{-6}+...展開式中沒有z^{-1}次項。由於環路積分值等於2πi * -1次項系數，故為0。

2. |z|=3包圍了三個奇點z=0,±1，留數分別為-1,e/2,e^{-1}/2，有留數定理積分值為2πi(-1+e/2+e^{-1}/2)

3. |z|=2包圍了兩個奇點z=0,1，留數分別為1,2，由留數定理積分值為2πi(1+2)=6πi

4. 由於zz*=|z|^2=1，故原積分等於∫(z^2+1)dz=(z^3/3+z)|z=-1 -(z^3/3+z)|z=1 = -1/3 - 1 - (1/3 + 1)=-8/3.

5. 先分解因式：F(s)=1/(16(s + 1)) - 1/(16(s - 1))- 1/(4(s + 1)^3)+ 1/(8(s - 1)^2) .然後使用基礎結論L{1/(s+a)^n}=t^{n-1}e^{-at}/(n-1)，由f(t)=e^{-t}/16 - e^t/16 - t^2e^{-t}/8 + te^t/8

6. 由卷積定理L{f1(t)*f2(t)}=F1(s)F2(s)，故先求拉普拉斯變換，F1(s)=1/s，F2(s)=1/(s+1)，F1(s)F2(s)=1/(s(s+1))=1/s-1/(s+1)，故f1(t)*f2(t)=1 - e^{-t}, t >= 0; 0, t < 0

7. f(z)的洛朗級數就是1/z-1/z^2

8. 利用基礎結論sinz= z-z^3/3! + z^5/5! ...，sinz/z = 1- z^2/3! + z^4/5! ... = ∑(-1)^{k}z^{2k}/(2k+1)!

計算：

1. 將方程變形為t(y''(t)+y(t))=2y'(t)。兩側同做拉普拉斯變換，設L{y(t)}=Y(s)，則由時域微分定理L{y'(t)}=sY(s)，L{y''(t)}=s^2Y(s)；對L{y''(t)+y(t)}=(s^2+1)Y(s)用頻域微分定理：L{t(y''(t)+y(t))}=-d((s^2+1)Y(s))/ds。

   得到方程d((s^2+1)Y(s))/ds=-2sY(s)，變形為d((s^2+1)Y(s))/((s^2+1)Y(s))=-2s/(s^2+1)ds，兩側積分得到Y(s)=C/(s^+1)^2, 求逆變換得到y(t)=C(sint-tcost)，其中C為任意常數。

2. f(t)=0.5, -1 < t < 1；=0, 其他。可以驗證F{f(t)}= ∫[-1,1]0.5e^{-iwt)dt=sinw/w。

3. 先考慮I(a)=∫(-∞，∞)e^{iax}/(x^2+4x+5)，被積函數有奇點-1,-4，留數分別為e^{-ia}/3和-e^{-4ia}/3，且奇點恰在積分路線上，由推廣的留數定理積分值為πi(e^{-ia}/3-e^{-4ia}/3)。由於(cos(3x))^2=(cos6x+1)/2，故題中積分可表示為(Re(I(6))+I(0))/2，代入可得結果。
   

⑵ 復變函數，求解答！一題懸賞底分100分

1，只要滿足柯西黎曼方程即可，u=xy，v=ax^2+by^2，由於要滿足u'x=v'y，u』y=-v'x，所以y=2by，x=-2ax，若這兩個式子對任意x,y都成立，只有a=b=0
2，圓周|z|=1方程為z=e^(iθ)，因此w=[e^(iθ)+1]/e^(iθ)=1+e^(-iθ)，這是復平面上圓心z=1半徑r=1的圓周。
3，sinz/(z^2+1)=sinz/(z+i)(z-i)=(1/2i)[sinz(z-i)-sinz(z+i)]，根據柯西積分公式，
∮sinzdz(z-i)=2πisini，同理∮sinzdz(z+i)=-2πisini，所以原積分=2πsini
4，由於積分圓周內只有奇點z=-i，故積分=2πiRes[f(z),-i]，又由於
Res[f(z),-i]+Res[f(z),2]+Res[f(z),∞]=0，所以Res[f(z),-i]=-Res[f(z),2]-Res[f(z),∞]=-1/(2+i)^10，故積分=-2πi/(2+i)^10
5,6查公式即可，答案分別為2πδ(ω)+e^(-jω)和4s/(s^2+4)^2