大學數學的題目及答案解析

㈠ 大學數學分析題，求解答！

解答:

㈡ 大學生數學競賽題目第四題怎麼做

供參考，請笑納。

㈢ 北京郵電大學出版社大一高等數學教材習題2-4答案及其解析

北京郵電大學出版社大一高等數學教材習題2-4答案及其解析：

（1） 1－1 1-x 1 1 1．設 f (x) = ，求 f (-x) ，f ( ) ， ，f (x + 1) ． 1+ x x f (x) 1-x 解：Qf (x ) = 1+x 1 1- 1- (-x ) 1+x 1 x x -1 f ( -x ) = = ，f ( ) = = 1+ (-x ) 1-x x 1+ 1 x +1 x 1 1 1+x 1- (x +1) x = = ，f (x +1) = =- f (x ) 1-x 1-x 1+ (x +1) 2+x 1+x 2．下列各題中，函數f (x) 與 g (x) 是否相同？為什高罩悔么？ 2 x -4 （1） f (x) = ，g (x) = x + 2 ； x - 2 解：因為f (x) 的定義域為(-¥, 2) È(2, +¥) ，而 g (x) 的定義域為(-¥, +¥) ，所以 f (x ) 與g (x) 定義域不同，因此f (x ) 與 g (x) 不相同．

（2） f (x) = (3x -1)2 ，g (x) = 3x -1 ； 解：因為f (x ) 與 g (x) 定義域相同，對應法則相同，故 f (x ) 與 g (x) 相同．戚正 x + 1

（3） f (x) = ln ，g (x) = ln(x + 1) -ln(x -1) ； x -1 x -1¹ 0 ì x +1> 0 ï ì 解：由íx +1 解出 f (x ) 的定義域為(-¥-, 1)È(1,+¥) ，而由 í 解出 g (x) 的定義域 >0 x -1> 0 ï î x -1 î 為悶正(1,+¥) ，所以 f (x ) 與 g (x) 定義域不同，因此f (x ) 與 g (x) 不相同． x + 1 2 。

其他習題解題具體步驟看下圖。

㈣ 哪個高手能做個<大學文科數學練習題及答案詳解>(概率之前的就可以了）

大學文科數學試卷

一、填空題（12分）

1.我國數學家祖沖之是 南北朝 時期人，他在圓周率上的兩個結果是 ①圓周率在3.1415926與3.1415927之間；②約率為 ，密率為 。

2.函數在一點有極限的充要條件是 函數在此點處的左許可權，右極限存在且相等。

3.簡言之，導數是 平均變化率 的極限，定積分是 積分和式 的極限。

4.使導數為零的點稱為 駐點 。

5.函數y=f(x)在 上的拉格朗日中值公式為 ＝ ( )
6.變上限定積分是 被積函數在定義區間上 的一個原函數。

二、選擇題（12分）

從四個條件：①充分條件，②必要條件，③充要條件，④既非充分又非必要條件中選擇正確答案，將其序號填在下列各題的括弧內：

1.導數為零是可導函數的取極值的（ ② ）

2.可導是連續的（ ① ）

3.連續是可積的（ ① ）

4.對於一元函數而言，可導是可微的（ ③ ）

5.有界是可積的（ ② ）

6.函數在一點處左右導數存在且相等是可導的（ ③ ）

三、簡述求極限過程中的辯證法（7分）

答（1）反映了矛盾的對立統一法則.

設數列{ }以 為極限，在 無限增大的過程中， 是變數，則有寫不盡的數 ， ， … 這反映了變數 無限變化的過程，而極限 則反映了 無限變化的結果.每一個 都不是 ，反映了變化過程與變化結果的對立的一面，使 轉化為 ，反映了過程與結果的統一；②因為{ }不可能全部寫出來，所以採用 = 與有限數 之差的變化狀態來研究，如果其差值趨於0，則數列 的極限為 .所以，極限是有限與無限的統一；③每個 都是a的近似值，n越大近似的程度越好.無論n多大， 總是a的近似值.當n 時，近似值 就轉化為精確值a，體現了近似與精確的對立統一.

（2）反映了量變質變的規律.

四、計算題（42分）

1.
解 = ＝ （2x+1）

= 2x+ 1=-4+1=-3.

2.
解 ＝ ＝
＝ ＝
＝e2· = e2· = e2

3.
解 =
= = 1=-1

4.已知函數y= ,求 .

解 = =
= =
=- = .

5.已知 ,求 .

解 ,對等式兩邊取對數, 得

①

①等式兩邊對 取導數，有

=
∴ = +
∴ = + .

6. .

解 = =
= = .

五、奇函數 在區間 上的定積分等於多少？並證明之。（9分）

解 (1) 為奇函數時，在區間 上的定積分為零，即

=0

(2)證明 = + . (*)

其中 =-
令 ，則當 時，t=0,當 時,
∴ =- =
與積分符號無關

f(x)為奇函數

- － .

代入(*)，得

= + =- + =0.

六、求拋物線 與直線 所圍成圖形的面積。(9分)

解 據題意畫草圖如右.

解聯立方程組 ，得交點(-1,1),(2,4).

∴所圍成圖形的面積為：

S= + -
= = - +4+2- = .

七、已知函數 ,在點 處連續，求 的值（9分）.

解 ∵
∴ .

=
=
=
= .

∵函數 在點 處連續

∴ = = =
∴ .

一、填空（30分）

1、高斯是 18、19 世紀之交的 德 國偉大數學家.

2、若對 ，總存在 ，使得當 時， < 恆成立，則稱函數 在點 連續。

3.函數 的定義域如右圖所示。

4. 在D上可積的必要條件是 函數 在D上有界 .

5．若AB＝ ，則事件A與B 互斥 .

6.行列式 ＝ 0 .

二、基本運算（32分）

1. ，求
解
＝
2.已知D： 計算
解
＝ .

3．一批產品共有100件，其中正品90件，次品10件，從這批產品中任抽3件，求其中有次品的概率.

解法一 設A＝｛有次品｝， ={有 件次品}， =1,2,3.因而A＝ ，又因 兩兩互斥，所以由古典概率可知

P( )= P( )=
P( )=
由加法公式，得

P（A）＝P(A1+ A2+ A3) = P(A1)+ P(A2)+ P(A3)

＝0.24768+0.02505+0.00074=0.2735.

解法二 用逆概率公式計算

因為事情A的對立事件為 ＝｛取出的三件產品全是正品｝，所以

P（ ）＝
於是P（A）=1－P（ ）＝1－0.7265=0.2735.

4．求由曲線 與 所圍圖形的面積.

解 畫草圖如右.解方程組

得交點（－3，－7），（1，1）.

如圖所示，投影到x軸上，可知所圍圖形為

D：－3≤x≤1,2x-1≤y≤2-x2.

所以所圍圖形的面積為：

= .

三、計算（30分）

1、 ，求 .

解 設 則z

=
2．求行列式的值
加到①②③列

（－1）×④列分別

解 原行列式

＝x －2
=x
－
＝ =
3.計算二重積分：

，

其中D為由直線x=0，y=x和y=π所圍成.

解 畫草圖，如右。將積分區域D投影到x軸上，用不等式表示D：

D：0≤x≤π,x≤y≤π.

∴

(＊)

其中

代入（＊）式，∴
4. ,求
解 令

四、用矩陣方法解線性方程組（8分）

解 對增廣矩陣進行行初等變換
①行加到②行

①×（－2）行加到③行

①行與②行互換

②行與③行互換

（－1）×③行

（－4）×②行加

到③行

∴原方程組可化為
用回代法，自下而上求未知數，

∴方程組的解為

一、填空題（18分）

1、函數在一點有極限的充要條件是 左右導數存在且相等 。

2、使導數為零的點稱為 駐點（穩定點） 。

3、簡言之，導數是 平均變化率 的極限，定積分是 積分和式 的極限。

4、函數 在〔a,b〕上的拉格朗日中值公式為 。

5、我國數學家祖沖之是 南北朝 時期人。他在圓周率上的貢獻是 （1）圓周率在3.1415926與3.1415927之間；（2）約率為 ，密率為 .

6、變上限定積分是 被積函數 的一個原函數。

二、選擇題（12分）

從四個條件：①充分條件,②必要條件,③充要條件,④既非充分又非必要條件中選擇正確答案,將其序號填在下列各題的括弧內:

1、導數為零是可導函數取極值的（ ② ）。

2、可導是連續的（ ① ）。

3、連續是可積的（ ① ）。

4、對於一元函數而言，可導是可微的（ ③ ）。

5、有界是可積的（ ② ）。

6、函數在一點處左右導數存在且相等是可導的（ ③ ）。

三、計算題（42分）

1、
解
＝
2、
解
＝
＝
＝
3、已知 求
解 在y＝（x+1）x＋1兩邊取對數得lny＝（x+1）ln（x+1），兩邊對x求導數得：
4、已知 ,求dy

解 dy=y′dx 下面求y′

y′＝
5、
解
＝
6、
解
＝
四、求拋物線 與直線 所圍圖形的面積（12分）

解 ①先畫出拋物線y＝x2－1與直線y=x+2所圍圖形

②求拋物線y=x2與直線y=x＋2的交點得：A（－1，1）；B（2，4）

③求所圍圖形的面積S：

＝
五、已知函數 在點 處連續，求A的值（8分）

解 ∵函數f（x）在x＝0處連續

∴
而
∴
∴A＝e.

六、簡述求數列極限過程中的辯證法（8分）

答（1）反映了矛盾的對立統一法則.

設數列{ }以 為極限，在 無限增大的過程中， 是變數，則有寫不盡的數 ， ， … 這反映了變數 無限變化的過程，而極限 則反映了 無限變化的結果.每一個 都不是 ，反映了變化過程與變化結果的對立的一面，使 轉化為 ，反映了過程與結果的統一；②因為{ }不可能全部寫出來，所以採用 = 與有限數 之差的變化狀態來研究，如果其差值趨於0，則數列 的極限為 .所以，極限是有限與無限的統一；③每個 都是a的近似值，n越大近似的程度越好.無論n多大， 總是a的近似值.當n 時，近似值 就轉化為精確值a，體現了近似與精確的對立統一.

（2）反映了量變質變的規律.

一、填空題（18分）

1、簡言之，導數是 平均變化率 的極限，定積分是 積分和式 的極限。

2、使導數為零的點稱為 駐點 。

3、對矩陣的初等行變換是指 ①交換矩陣的兩行；②用非零數乘矩陣某一行的每個元素；③用數乘矩陣某一行的每個元素後加到另一行的對應元素上.

4、設A、B均為n階方陳，則（AB）′＝ 。

5、變上限定積分是 被積函數 的一個原函數。

6、D(aξ+b)= 。

二、選擇題（12分）

從四個條件：①充分條件，②必要條件，③充要條件，④既非充分又非必要條件中選擇正確答案，將其序號填在下列各題的括弧內：

1、 導數為零是可導函數取極值的（ ② ）

2、對於一元函數而言可導是連續的（ ① ）

3、連續是可積的（ ① ）

4、行列式|A|≠0，是矩陣A可逆的（ ③ ）

5、對於一元函數而言，可導是可微的（ ③ ）

6、系數行列式Δ≠0是線性方程組有唯一解的（ ① ）

三、簡述求導數過程中的辯證法（8分）

答（1）反映了矛盾的對立統一法則.

平均變化率與瞬時變化率，近似值與精確值，在取極限之前是各自對立的矛盾，取極限的結果又使矛盾的雙方統一起來.

（2）反映了量變質變的規律.

四、計算題（42分）

1、 已知函數y=lnsin( )，求y′

解

2、求極限
解
3、已知z= ，求

解
4、求不定積分
解
5、求不定積分

解 令 則 於是

=
=

6、已知 ，求
解
五、應用題（18分）

已知曲線 以及直線 圍成一平面區域D，

1、 用定積分求D的面積

解 ①先畫出曲線 , 在直角坐標系中的圖像所圍成的區域.

②求交點 .

③求所圍面積S.

.

2、用二重積分求D的面積.

解 利用二重積分計算D的面積時，被積函數應為1.

六、設隨機變數 具有概率密度（8分）

求（1）常數C

解 由 ，可知
即得 ，∴ .

（2）
解
（3）分布函數

解 分布函數為：

當 時，
當 時，
當 時，

=
∴

一、填空（15分）

1、標准正態分布的密度函數為
2、統計分為 描述性 統計和 推斷性 統計兩類。

3、統計推斷的基本內容一是 參數估計 問題，二是 假設檢驗 問題。

4、對一於n階方陣A，如果存在n階方陣B，使得 AB＝BA＝E ，則A為可逆矩連，B稱為A的逆矩陣，記作 。

5、寫出函數 在點 關於x的偏導數的定義。

二、計算（20分）

1、求行列式的值

2×①行加

到②行

解 ＝0

2、已知， ， 求
解 A＋B＝ ＋ ＝

AB＝ ＝
AT＝ ＝

3、已知 ，求
解 ＝ , ＝
4、已知 ，求

解 令 .

∴
＝
∴
＝

∴ ＝
三、計算二重積分 ，其中D為由x軸，y軸和單位圓 在第一象限所圍的區域（15分）

解 積分區域如右圖所示

D：0≤x≤1,0≤y≤

＝ .

四、利用二重積分求由曲線 與直線 所圍圖形的面積（15分）

解 畫單圖,如右。積分區域D為

D：－2≤x≤1, ≤y≤
∴
五、某廠擬招工420人，參加招工考試人數為2100人,抽查結果表明考試的平均成績為120分，標准差為10分，試求錄取分數線（註： ）， ）.（15分）

由題設可知，這次考試成績x～N(120,102)

解 設錄取線為 ，作標准化變換：

（＊）

則z～N（0，1）

被錄取人數所佔比率為P（z≥ ）= =0.2

∴P(- <z< )=1-P(z≥ )=1-0.2＝0.8

由題設 ,知 ＝0.84.

代入（＊）式有0.84= ,

可求得錄取分數線 為：

＝10×0.84+120=128.4.

六、某班36名學生經教改實驗後參加全校高一數學統一考試。已知該班數學平均成績為114分，全校高一數學平均成績為110分，標准差為16分，問該班數學平均成績與全校數學平均成績有無顯著性差異？ （15分）。

解 (1)提出假設
（2）計算統計量

已知 ，

∴
顯著性水平 =0.05,而
（3）統計決斷

∴接受原假設 150，拒絕備擇假設 ，即該班數學平均成績與全校數學平均成績無顯著性差異

七、通過概率統計的學習，對你的哲學思想有何啟發？（5分）

答 客觀世界存在大量隨機現象，其結果雖然可能預先不知道，但通過大量試驗可以發現，某種隨機現象中存在著某種量的規律性，從而進一步明確了哲學中關於偶然中蘊含著必然的客觀規律性.

一、已知（14分）

， ，求AB

解

二、用高斯消元法解線性方程組(12分)

解 對方程組作初等變換（交換第一第二個方程）

將（1）×（－2）加到（2），（1）×（－3）加到（3）得：

將第2個方程的－4倍加到第3個方程得階梯形方程組

用回代法，自下而上，解出未知數，得

三、已知
求（1） ｜（1，0）；（2） （16分）

解 令 則Z＝sinu-lnv，

同理
∴ dZ＝－2cos1dx+ody＝－2cos1dx.

四、已知某班有50名學生，在一次教學考試中得分 如下表所示。試求得分 的數學期望,並寫出計算方差的公式（16分）

得分
50
60
70
80
90
100

人 數
2
4
12
16
12
4

注意：小數點後保留二位數字

解

五、已知
（1）求 ； （2）根據連續型隨機變數分布函數的定義寫出 的計算公式

（3）畫出 的草圖 （21分）

答（1） ＝1－ ＝1－0.8413=0.1587

（2） ＝ dt

（3） 的數值如圖中陰影部分的面積

六、已知平面區域D由直線 、 和 所圍成

（1）求D的面積S

（2）求 （16分）

解 畫草圖，如右，所圍圖形D為 D：0≤x≤1,-x≤y≤2x

（1）
（2）

七、簡述笛卡兒在教學發展中的貢獻。（5分）

答 笛卡兒通過坐標系，用坐標法特點與數統一起來，將曲線（曲面）與方程統一起來，從而使幾何與幾何統一起來，建立了一門新的數學學科，即解析幾何。於是變數進入了數學，辯證法進入了數學，微積分也就自然而然產生了使數學從常量數學跌入到變數數學，是數學史上的里程碑式的偉大貢獻！