東北大學模糊數學試題及答案

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B. 數學建模試題，求詳細解答。

本質上這是一道線性規劃問題,思路很直接,題目中給出了四個約束條件,

假設每天服用甲葯物x粒, 乙葯物y粒, 除了給出的四個約束條件之外, 還應該加上

x>0, y> 0這兩個條件,於是我們可以給出如下圖中淡綠色的有效區域,在這個區域內的

整數點都滿足題目中給出的約束, 在這些點當中求最大值或者最小值即可...

過程如此, 關鍵的一步在於給出條件表達式並且畫圖,

答案顯而易見了.

C. 大學數學題目

高等數學試題
一、單項選擇題(每小題1分，共30分)

1、函數f(x)=的定義域是

A、[－1，1]B、(－2，2)

C、(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D、(－∞，＋∞)

2、下列函數中既是有界函數又是偶函數的是

A、xarcsinxB、arctgx

C、x2＋1D、sinx＋cosx

3、函數y=ex－1的反函數是

A、y=lnx＋1B、y=ln(x－1)

C、y=lnx－1D、y=ln(x＋1)

4、xsin=

A、∞B、0C、1D、不存在

5、某商品的需要量Q是價格P的函數Q=a－bP(a>0，b>0)，則需求量Q對價格P的彈性是

A、bB、

C、D、

6、曲線在t=0處的切線方程是

A、

B、

C、y－1=2(x－2)

D、y－1=－2(x－2)

7、函數y=|sinx|在x=0處是

A、無定義B、有定義，但不連續

C、連續，但不可導D、連續且可導

8、設y=lnx，則y″=

A、B、

C、D、

9、設f(x)=arctgex，則df(x)=

A、B、

C、D、

10、=

A、－1B、0C、1D、∞

11、函數y=ax2＋c在區間(0，＋∞)內單調增加，則a，c應滿足

A、a<0，c=0B、a>0，c任意

C、a<0，c≠0D、a<0，c任意

12、若ln|x|是函數f(x)的原函數，a≠0,那麼下列函數中，f(x)的原函數是

A、ln|ax|B、

C、ln|x＋a|D、

13、設a≠0，則∫(ax＋b)100dx=

A、

B、

C、

D、100a(ax＋b)99

14、∫xsinxdx=

A、xcosx－sinx＋c

B、xcosx＋sinx＋c

C、－xcosx＋sinx＋c

D、－xcosx－sinx＋c

15、函數f(x)=x2在[0，2]區間上的平均值是

A、B、1C、2D、

16、=

A、＋∞B、0C、D、1

17、下列廣義積分中收斂的是

A、B、

C、D、

18、方程x2＋y2＋z2＋2x－4y=1表示的空間圖形為

A、平面B、直線

C、柱面D、球面

19、函數z=arcsin(x2＋y2)的定義域為

A、x2＋y2<1B、x2＋y2≤1

C、x2＋y2≥1

D、|x|≤1，|y|≤1

20、極限=

A、1B、2C、0D、∞

21、函數f(x，y)=

在原點

A、連續B、間斷

C、取極小值D、取極大值

22、已知f(x，y)的兩個偏導數存在，且f′x(x，y)>0，f′y(x，y)<0，則

A、當y不變時，f(x，y)隨x的增加而增加

B、當y不變時，f(x，y)隨x的增加而減少

C、當x不變時，f(x，y)隨y的增加而增加

D、上述論斷均不正確

23、設z=exsiny，則dz=

A、ex(sinydx＋cosydy)B、exsinydx

C、excosydyD、excosy(dx＋dy)

24、已知幾何級數收斂，則

A、|q|≤1，其和為

B、|q|<1，其和為

C、|q|<1，其和為

D、|q|<1，其和為aq

25、是級數收斂的

A、必要條件B、充分條件

C、充分必要條件D、無關條件

26、下列級數中絕對收斂的是

A、B、

C、D、

27、冪級數的收斂半徑為

A、1B、C、2D、0

28、微分方程y3＋(y′)6＋xy3＋x4y2=1的階數是

A、1B、2C、3D、6

29、微分方程的通解為

A、y=±1B、y=sinx＋c

C、y=cos(x＋c)D、y=sin(x＋c)

30、微分方程滿足初始條件y(0)=0的特解為

A、y=cosx－1B、y=cosx

c、y=sinxD、y=－cosx＋1

二、填空題(每空2分，共20分)

1、a，b為常數，要使

，則b=(1)。

2、設由y=sin(x＋y)確定隱函數y=y(x)，則dy=(2)。

3、設當x→0時與ax是等價無窮小，則常數a=(3)。

4、=(4)。

5、=(5)。

6、設f(x,y)=，則f′x(1，2)=(6)。

7、交換積分順序

=(7)。

8、函數e－2x的麥克勞林級數中xn的系數為(8)。

9、微分方程y″－2y′＋5y=0的通解為(9)。

10、函數y=lnx在區間[1,e]上滿足拉格朗日中值定理條件的ξ=(10)。

三、解答題(每小題5分，共30分)

1、求.

2、設y=cos2e－3x,求y′.

3、求∫x2e－xdx.

4、求到兩點A(1，0，－1)，B(3，－2，1)距離相等的點的軌跡，並指出該軌跡的名稱.

5、判斷下列級數的斂散性：

(1)；(2).

6、求微分方程滿足初始條件y(0)=0的特解.

四、(本題8分)

設平面圖形由曲線xy=1與直線y=2，x=3圍成，求

(1)平面圖形的面積S

(2)此平面圖形繞X軸旋轉所成的旋轉體體積V

五、(本題8分)

某工廠生產甲、乙兩種產品，單位售價分別為40元和60元，若生產X單位甲產品，生產y單位乙產品的總費用為20x＋30y＋0.1(2x2－2xy＋3y2)＋100，試求出甲、乙兩種各生產多少時取得最大利潤。

六、(本題4分)

求證方程x－sinx－1=0在區間~,[,2]內有唯一零點。參考答案

一、選擇題(本題共30分)

1.B2.A3.D4.C5.C

6.A7.C8.D9.B10.A

11.B12.A13.C14.C15.A

16.D17.C18.D19.B20.B

21.B22.A23.A24.C25.A

26.D27.B28.C29.D30.D

二、填空題(每小題2分，共20分)

1、1

2、

3、

4、e4－1

5、arctgx＋ln(1＋x2)＋c

6、

7、

8、

9、ex(C1cos2x＋C2sin2x)

10、e－1

三、(每小題5分，共20分)

1、解原式=

(3分)

=1(2分)

2、解y′=2cose－3x·(cose－3x)′

(2分)

=2cose－3x(－sine－3x)·(e－3x)′

(2分)

=3sin(2e－3x)·e－3x(1分)

3、解原式=－∫x2de－x

=－x2e－x＋2∫xe－xdx(2分)

=－x2e－x－2xe－x＋2∫e－xdx

=－x2e－x－2xe－x－2e－x＋c(2分)

=－(x2＋2x＋2)e－x＋c(1分)

4、解設點(x,y,z)到A，B距離相等，則(2分)

兩邊平方並化簡得

2x－2y＋2z－6=0(2分)

該軌跡稱為平面(1分)

5、解：(1)∵

而等比級數收斂，

∴原級數收斂(3分)

(2)∵=1≠0，

∴原級數發散。(2分)

6、解 原方程可化為，

即(1分)

積分得(2分)

以x=0,y=0代入上式，

求得c=0。(1分)

∴所求特解為y=－1(1分)

(註：也可用一階線性方程求解)

四、(本題8分)

解：(1)S=(3分)

=5－=5－ln6(1分)

(2)V=(3分)

=(1分)

五、(本題8分)

解：總收入為40x＋60y，總利潤為

z=40x＋60y－(20x＋30y＋0.1(2x2－2xy＋3y2)＋100)=20x＋30y－0.2x2＋0.2xy－0.3y2－100(2分)

令(2分)

解得x=90,y=80(2分)

而=－0.4,=0.2,

=－0.6

△=0.22－(－0.4)·(－0.6)<0，而=－0.4<0

∴x=90,y=80為極大值點

因極值點唯一，故它就是最大值點。(2分)

答：當甲產品生產90單位，乙產品生產80單位時利潤最大。

六、(本題4分)

證：設f(x)=x－sinx－1，

在≤x≤2上連續，

∵f()=－2<0,

f(2)=1－sin2>0，

∴f(x)在[,2]內有零點。(2分)

又f′(x)=1－cosx>0(<x<2)

∴f(x)嚴格單調上升，∴f(x)只有唯一的零點。(2分)