复变函数复旦大学答案

⑴ 高分跪求复变函数补考完整答案一份

图1.

填空：

1.z=ln(1-sqrt(3)i)=|1-sqrt(3)|+iarg(1-sqrt(3))=2+i(2kπ-π/3)

2.|z|=2，该多边形是六边形，面积为6个边长为2的正三角形面积之和，为6sqrt(3)

3.由频域微分定理，L{tf(t)}=-F'(s)，故L{t^3f(t)}=-F'''(s)；又由频域平移定理，L{e^{5t}t^3f(t)}=-F'''(s-5)

4.记f(z)=z^{-2}，f^(n)(z)=(-1)^n(n+1)!z^{-2+n}. f(z)=∑[0,∞]f^(n)(-1)(z+1)^n=∑[0,∞](n+1)!(z+1)^n

5.由于cosz的泰勒展开式只有偶次项，在n为偶数时不会出现-1次项，故留数（-1次项系数）为0.

选择：

1. 选D：由于(z-1)sin(1/(z-1))=1-(z-1)^{-2}/3!+(z-1)^{-4}/5!-(z-1)^{-6}/7!+...，其展开式含有无穷多项负幂项，所以是本性奇点。

2.选C：f(z)解析的充要条件是u,v连续可微（调和），且u,v满足柯西黎曼方程（共轭）。

A.仅说调和，没说共轭。

B.仅说共轭，没说调和。

3.选B：对基础结论F{δ(t)}=1用时域平移定理F{δ(t-t0)}=e^{-iwt0}；对基础结论f{1}=2πδ(w)，用频域平移定理F{e^{iw0t}}=2πδ(w-w0).

4.选A：L{δ(t)}=1；对L{u(t)}=1/s先用时域平移定理L{u(t-1)}=e^{-s}/s，再用频域平移定理L{e^{-t}u(t-1)}=e^{-(s+1)}/(s+1).

5.选D：z=1/sqrt(2)时，|(1+sqrt(3))^n z^2n|->1

计算：

1. 在|z|>2上展开被积分函数：(z-2)^{-2}z^{-3}=z^{-5}(1-2z^{-1})^{-2}=z^{-5}+4z^{-6}+...展开式中没有z^{-1}次项。由于环路积分值等于2πi * -1次项系数，故为0。

2. |z|=3包围了三个奇点z=0,±1，留数分别为-1,e/2,e^{-1}/2，有留数定理积分值为2πi(-1+e/2+e^{-1}/2)

3. |z|=2包围了两个奇点z=0,1，留数分别为1,2，由留数定理积分值为2πi(1+2)=6πi

4. 由于zz*=|z|^2=1，故原积分等于∫(z^2+1)dz=(z^3/3+z)|z=-1 -(z^3/3+z)|z=1 = -1/3 - 1 - (1/3 + 1)=-8/3.

5. 先分解因式：F(s)=1/(16(s + 1)) - 1/(16(s - 1))- 1/(4(s + 1)^3)+ 1/(8(s - 1)^2) .然后使用基础结论L{1/(s+a)^n}=t^{n-1}e^{-at}/(n-1)，由f(t)=e^{-t}/16 - e^t/16 - t^2e^{-t}/8 + te^t/8

6. 由卷积定理L{f1(t)*f2(t)}=F1(s)F2(s)，故先求拉普拉斯变换，F1(s)=1/s，F2(s)=1/(s+1)，F1(s)F2(s)=1/(s(s+1))=1/s-1/(s+1)，故f1(t)*f2(t)=1 - e^{-t}, t >= 0; 0, t < 0

7. f(z)的洛朗级数就是1/z-1/z^2

8. 利用基础结论sinz= z-z^3/3! + z^5/5! ...，sinz/z = 1- z^2/3! + z^4/5! ... = ∑(-1)^{k}z^{2k}/(2k+1)!

计算：

1. 将方程变形为t(y''(t)+y(t))=2y'(t)。两侧同做拉普拉斯变换，设L{y(t)}=Y(s)，则由时域微分定理L{y'(t)}=sY(s)，L{y''(t)}=s^2Y(s)；对L{y''(t)+y(t)}=(s^2+1)Y(s)用频域微分定理：L{t(y''(t)+y(t))}=-d((s^2+1)Y(s))/ds。

   得到方程d((s^2+1)Y(s))/ds=-2sY(s)，变形为d((s^2+1)Y(s))/((s^2+1)Y(s))=-2s/(s^2+1)ds，两侧积分得到Y(s)=C/(s^+1)^2, 求逆变换得到y(t)=C(sint-tcost)，其中C为任意常数。

2. f(t)=0.5, -1 < t < 1；=0, 其他。可以验证F{f(t)}= ∫[-1,1]0.5e^{-iwt)dt=sinw/w。

3. 先考虑I(a)=∫(-∞，∞)e^{iax}/(x^2+4x+5)，被积函数有奇点-1,-4，留数分别为e^{-ia}/3和-e^{-4ia}/3，且奇点恰在积分路线上，由推广的留数定理积分值为πi(e^{-ia}/3-e^{-4ia}/3)。由于(cos(3x))^2=(cos6x+1)/2，故题中积分可表示为(Re(I(6))+I(0))/2，代入可得结果。
   

⑵ 复变函数，求解答！一题悬赏底分100分

1，只要满足柯西黎曼方程即可，u=xy，v=ax^2+by^2，由于要满足u'x=v'y，u’y=-v'x，所以y=2by，x=-2ax，若这两个式子对任意x,y都成立，只有a=b=0
2，圆周|z|=1方程为z=e^(iθ)，因此w=[e^(iθ)+1]/e^(iθ)=1+e^(-iθ)，这是复平面上圆心z=1半径r=1的圆周。
3，sinz/(z^2+1)=sinz/(z+i)(z-i)=(1/2i)[sinz(z-i)-sinz(z+i)]，根据柯西积分公式，
∮sinzdz(z-i)=2πisini，同理∮sinzdz(z+i)=-2πisini，所以原积分=2πsini
4，由于积分圆周内只有奇点z=-i，故积分=2πiRes[f(z),-i]，又由于
Res[f(z),-i]+Res[f(z),2]+Res[f(z),∞]=0，所以Res[f(z),-i]=-Res[f(z),2]-Res[f(z),∞]=-1/(2+i)^10，故积分=-2πi/(2+i)^10
5,6查公式即可，答案分别为2πδ(ω)+e^(-jω)和4s/(s^2+4)^2